Для определения расстояния от точки до плоскости нам необходимо найти точку на плоскости, к которой это расстояние будет наименьшим.

Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки A$20,90,85$, B$180,70,105$ и C$60,15,10$. Для этого воспользуемся методом нахождения векторного произведения:

Вектор AB = B - A = $180-20,70-90,105-85$ = $160,-20,20$ Вектор AC = C - A = $60-20,15-90,10-85$ = $40,-75,-75$

Найдем векторное произведение:
n = AB x AC = $20<em>20-(-20)</em>(-75),20<em>(-75)-160</em>(-75),160<em>(-75)-40</em>(-20)$ = $400-1500,-1500+1200,-12000+800$ = $-1100,-300,-11200$

Уравнение плоскости имеет вид: -1100$x-20$ - 300$y-90$ - 11200$z-85$ = 0
-1100x + 22000 + 300y - 2700 - 11200z + 952000 = 0
-1100x + 300y - 11200z - 101800 = 0

Найдем уравнение прямой, проходящей через точки A и D$225,10,20$.
Вектор AD = D - A = $225-20,10-90,20-85$ = $205,-80,-65$

Уравнение прямой AD имеет вид:
x = 20 + 205t
y = 90 - 80t
z = 85 - 65t

Теперь найдем точку пересечения прямой и плоскости. Подставим уравнения прямой в уравнение плоскости и найдем t:
-1100$20+205t$ + 300$90-80t$ - 11200$85-65t$ - 101800 = 0
-22000 - 1100205t + 27000 - 240t - 952000 + 728000 + 1120065t - 101800 = 0
-231200 - 224500t + 672000 + 728000 - 11200*65t - 101800 = 0
-184800 + 180300t = 0

180300t = 184800
t = 1.024

Подставим найденное значение t обратно в уравнение прямой, чтобы найти точку пересечения:
x = 20 + 2051.024 = 20 + 209.2 = 229.2
y = 90 - 801.024 = 90 - 81.92 = 8.08
z = 85 - 65*1.024 = 85 - 66.4 = 18.6

Таким образом, точка пересечения прямой и плоскости имеет координаты $229.2,8.08,18.6$.

Найдем расстояние между точкой D$225,10,20$ и найденной точкой $229.2,8.08,18.6$ по формуле расстояния между двумя точками в пространстве:
√$(229.2-225{)}^2+(8.08-10{)}^2+(18.6-20{)}^2$ = √$16.64+4.1664+2.56$ = √23.3664 ≈ 4.833

Таким образом, расстояние от точки D$225,10,20$ до плоскости треугольника ABC равно примерно 4.833.