Для начала найдем высоту четырехугольной призмы.
Пусть a и b будут сторонами основания призмы, тогда ее высота h равна (\sqrt{a^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2}).

В данном случае a = 7 см (сторона основания) и угол наклона диагонали к плоскости основания равен 45 градусов, поэтому половина диагонали плоскости основания будет b/2 = 7⋅cos(45°) = 7/√2.

Таким образом, h = (\sqrt{7^2 - \left(\frac{7}{\sqrt{2}}\right)^2})
h = (\sqrt{49 - \frac{49}{2}})
h = (\sqrt{\frac{49}{2}})
h = (\frac{7}{\sqrt{2}})
h = (\frac{7\sqrt{2}}{2})

Теперь найдем объем призмы, он равен произведению площади основания на высоту:
V = S∙h = 7∙7∙(\frac{7\sqrt{2}}{2}) = 49∙(\frac{7\sqrt{2}}{2}) = 24,5∙(\sqrt{2}) см³.

Таким образом, объем правильной четырехугольной призмы равен 24,5∙(\sqrt{2}) см³.