Площадь сектора круга можно найти по формуле: S = (πr^2 α) / 360, где r - радиус круга, α - центральный угол.
S = (π 4^2 120) / 360 = (16π 120) / 360 = 16π * 1/3 = 16π / 3 ≈ 16.76 см²

Длина окружности можно найти по формуле: L = 2πr, где r - радиус окружности.
Поскольку градусная мера дуги 30°, то длина дуги равна 1/12 от окружности. Значит, длина окружности равна 12 * 6√2 = 72√2 см.

Внутренний угол правильного многоугольника можно найти по формуле: α = 180 - 360/n, где n - количество сторон.
Внешний угол равен 180 - α. По условию задачи, он на 60° меньше внутреннего угла: 180 - α = α - 60.
Решив уравнение, получаем n = 6.

Площадь сектора круга равносторонней трапеции можно найти, зная, что он равен площади круга, умноженной на отношение угла сектора к 360°.
Площадь круга равно S = πr^2 = π (12/2)^2 = 36π см².
Отношение угла сектора к 360° равно 60/360 = 1/6.
Таким образом, площадь сектора круга равносторонней трапеции: S = 36π 1/6 = 6π см².