Площадь сектора круга можно найти по формуле: S = (πr^2 α) / 360, где r - радиус круга, α - центральный угол в градусах.
Подставляем значения: r = 4 см, α = 120°.
S = (π 4^2 120) / 360 = (16π 120) / 360 = 16π * 1/3 = 16π/3 ≈ 16.76 см^2.

Длина окружности можно найти по формуле: L = 2πr, где r - радиус окружности.
Мы знаем, что угловая мера дуги равна 30° и радиус окружности соответствует стороне прямоугольного треугольника, где гипотенуза - это хорда (6√2 см), а катет - это радиус. Таким образом, радиус r = 6√2/2 = 3√2.
Подставляем значение радиуса в формулу: L = 2π * 3√2 ≈ 18.85 см.

Внутренний угол правильного многоугольника вычисляется по формуле: ВУ = 180 * (n - 2) / n, где n - количество сторон многоугольника.
Внешний угол равен 180° - ВУ. Условие задачи гласит, что внешний угол на 60° меньше внутреннего: 180 - ВУ = ВУ - 60.
Решив эту систему уравнений, получим n = 10.

Площадь сектора круга можно найти по формуле: S = (r^2 α) / 2, где r - радиус круга, α - центральный угол в радианах.
Для начала найдем радиус вписанного круга в равностороннюю трапецию: r = (12 + 20) / 4 = 8.
Угол в центре круга, соответствующий основанию трапеции, составляет 360 - 120 = 240° = 4π/3 радиан.
Площадь сектора: S = (8^2 4π/3) / 2 = 64π/3 ≈ 67.02 см^2.