Площадь сектора круга вычисляется по формуле S = (π r^2 α) / 360, где r - радиус круга, α - центральный угол в градусах.
Подставляем известные значения: S = (π 4^2 120) / 360 = (16 120 π) / 360 = 64π см^2.

Длина окружности вычисляется по формуле L = 2πr, где r - радиус окружности.
Так как градусная мера дуги 30 °, то она составляет 30/360 = 1/12 от окружности.
Пусть x - длина этой дуги, тогда x = L / 12.
Также известно, что хорда длиной 6√2 см стягивает эту дугу, следовательно, x = 6√2 см.
Отсюда получаем уравнение L / 12 = 6√2, откуда L = 72√2 см.

Внешний угол полигона на 60° меньше внутреннего, значит, внутренний угол равен 120°. Так как сумма внутренних углов n-угольника равна 180° (n - 2), то имеем уравнение 180° (n - 2) = n * 120°.
Решая его, получаем n = 6. Значит, у правильного многоугольника 6 сторон.

Площадь сектора круга вписанного в трапецию равносторонней формы можно найти, используя формулу S = r^2 π, где r - радиус вписанной окружности. Радиус вписанной окружности равен половине средней линии трапеции, поэтому r = (12 + 20) / 2 / 2 = 8 см.
Таким образом, S = 8^2 π = 64π см^2.