Площадь сектора круга можно найти по формуле S = (πr^2 α) / 360, где r - радиус круга, а α - центральный угол в градусах.
Подставляем значения: r = 4 см, α = 120 градусов.
S = (π 4^2 120) / 360 = (16π 120) / 360 = 64π / 3 ≈ 67.03 см^2

Длина окружности равна длине дуги, которую стягивает хорда. Для нахождения длины дуги используем формулу L = 2πr (α / 360), где r - радиус окружности, а α - градусная мера дуги.
Подставляем значения: r = 6√2 / 2 = 3√2 см, α = 30 градусов.
L = 2π 3√2 (30 / 360) = 6π √2 (1 / 12) = π √2 / 2 ≈ 2.19 см

Во внешнем угле правильного многоугольника на 60 градусов больше внутреннего. Так как сумма внутреннего и внешнего углов равна 180 градусов, получаем уравнение: внутренний + внешний = 180, внутренний + (внутренний + 60) = 180,
2внутренний + 60 = 180,
2внутренний = 120,
внутренний = 60.
Таким образом, внутренний угол равен 60 градусов, что соответствует треугольнику. Так как внутренний угол правильного многоугольника выражается формулой: 180 (n - 2) / n, где n - количество сторон, то получаем:
180 (n - 2) / n = 60,
n - 2 = 3n,
2 = 2n,
n = 1.
Итак, правильный многоугольник - треугольник.

Площадь сектора круга равно площади равнобедренной трапеции, вписанной в этот круг. Высота трапеции равна радиусу круга, а основания можно найти по теореме Пифагора, так как вершины треугольника, образованного диагональю трапеции, радиусом и половиной разности оснований, образуют прямые углы.
Следовательно, основания трапеции равны 12 и 20 см. Площадь трапеции можно найти по формуле: (a + b) h / 2, где a и b - основания трапеции, а h - высота.
Подставляем значения: a = 12 см, b = 20 см, h = 4 см.
S = (12 + 20) 4 / 2 = 32 * 4 / 2 = 64 см^2
Площадь сектора круга равна площади трапеции, то есть 64 см^2.