Пусть (a) - диагональ равнобедренной трапеции, (b) - боковая сторона, (R) - радиус описанной окружности.
Из условия задачи имеем, что диагональ равнобедренной трапеции перпендикулярна боковой стороне. Тогда получаем, что боковая сторона является высотой треугольника, образованного диагональю и радиусом описанной окружности.

Так как боковая сторона является высотой, а радиус описанной окружности является гипотенузой, то можем составить прямоугольный треугольник. Пусть (h) - высота треугольника, (r) - радиус описанной окружности:
[h^2 + (b/2)^2 = R^2]
[h^2 + (9/2)^2 = 12^2]
[h^2 + 81/4 = 144]
[h^2 = 144 - 81/4]
[h^2 = 363/4]
[h = \sqrt{363}/2]

Теперь из условия задачи можно составить уравнение для радиуса описанной окружности:
[R = a/2]
[R = 12/2]
[R = 6]

Ответ: радиус окружности, описанной около трапеции, равен 6 см.

Аналогично, для второго случая, можно составить уравнение для диагонали трапеции:
[h^2 + (b/2)^2 = R^2]
[h^2 + (10/2)^2 = 13^2]
[h^2 + 25 = 169]
[h^2 = 169 - 25]
[h^2 = 144]
[h = 12]

Теперь из условия задачи можно составить уравнение для диагонали трапеции:
[a = \sqrt{h^2 + b^2}]
[a = \sqrt{12^2 + 10^2}]
[a = \sqrt{144 + 100}]
[a = \sqrt{244}]
[a = 2\sqrt{61}]

Ответ: диагональ трапеции равна (2\sqrt{61}) см.