Для решения задачи нам нужно найти объем усеченного конуса.

Обозначим радиус основания и высоту исходного конуса через (r) и (h) соответственно. Также обозначим высоту усеченного конуса через (h').

Из геометрии известно, что при параллельном пересечении конуса и усеченного конуса высоты образуют подобные треугольники. Таким образом, мы можем записать пропорцию между высотами конуса и усеченного конуса:

[\frac{h'}{h} = \frac{r'}{r},]

где (r') - радиус основания усеченного конуса.

Также известно, что объем конуса высчитывается по формуле:

[V = \frac{1}{3}\pi r^2 h,]

а объем усеченного конуса высчитывается по формуле:

[V' = \frac{1}{3}\pi (r^2 + r \cdot r' + r'^2)h'.]

Для нахождения объема усеченного конуса нам необходимо найти (r') и (h').

Из геометрической задачи понятно, что (h' = \frac{h}{2}), так как плоскость проходит через середину высоты конуса.

Теперь можем найти (r'), подставив соответсвующие значения в пропорцию:

[\frac{h/2}{h} = \frac{r'}{r}.]

Отсюда получаем, что (r' = \frac{r}{2}).

Подставим найденные значения (h') и (r') в формулу для объема усеченного конуса:

[V' = \frac{1}{3}\pi (r^2 + r \cdot \frac{r}{2} + (\frac{r}{2})^2) \frac{h}{2}.]

Упростим формулу:

[V' = \frac{1}{3}\pi(\frac{3}{4}r^2) \cdot \frac{1}{2} h.]

Так как объем усеченного конуса равен 32, то:

[32 = \frac{1}{3}\pi(\frac{3}{4}r^2) \cdot \frac{1}{2} h.]

Из данного уравнения можно найти уточненные размеры усеченного конуса.