Пусть длина стороны треугольника ABC, не равной основанию, равна х.
Тогда сторона AB также равна х, так как треугольник равнобедренный.
Периметр треугольника ABC равен 18 см, значит, 2х + AB = 18, откуда 3х = 18 и х = 6. Таким образом, AB = 6 см.

Теперь рассмотрим треугольник ACM. У него периметр равен 12 см, значит, AM + MC + AC = 12.
Так как MC - это высота, проведенная из вершины треугольника ABC, а высоты треугольник делаются пропорциональными, то отношения сторон MC и CM равны соответственно отношению сторон AM и AB.
Таким образом, MC/CM = AM/AB = AM/6.

Из подобия треугольников ACM и ABC следует, что AC/AB = MC/CB, откуда AC/6 = MC/6, следовательно, AC = MC.

Теперь мы видим, что MC + MC + 6 = 12, откуда MC = 3.

Таким образом, высота треугольника CM равна 3 см.