Поскольку основание призмы - равносторонний треугольник, его площадь равна (\frac{{\sqrt{3}}}{4}a^2), где (a) - длина стороны треугольника. Площадь основания цилиндра (равного равностороннему треугольнику) равна:

[S = \frac{{\sqrt{3}}}{4} \cdot 4^2 = 4\sqrt{3} \, \text{см}^2]

Также из условия задачи известно, что боковое ребро призмы равно (l = \frac{5}{\pi}).

Таким образом, площадь боковой поверхности цилиндра равна (S_{бок} = l \cdot p = \frac{5}{\pi} \cdot 3a = \frac{15a}{\pi}).

Объем цилиндра можно найти, умножив площадь основания на высоту цилиндра:

[V = S \cdot H = 4\sqrt{3} \cdot \frac{15a}{\pi} = \frac{60\sqrt{3} a}{\pi}]

Подставим значение длины стороны треугольника (a = 4) см:

[V = \frac{60\sqrt{3} \cdot 4}{\pi} = \frac{240\sqrt{3}}{\pi} \approx 137,47 \, \text{см}^3]

Таким образом, объем цилиндра равен (\frac{240\sqrt{3}}{\pi}) или примерно 137,47 см³.