Угол между диагоналями параллелограмма равен 90 градусов.

Доказательство:
Пусть ABCD - параллелограмм, а P - точка пересечения его диагоналей AC и BD. Окружность вписана в параллелограмм, значит, касается его сторон в точках E, F, G и H. Тогда по свойству вписанного угла угол BPE равен половине центрального угла BFE, то есть половине угла A. Аналогично, угол CPD равен половине угла D. Таким образом, сумма углов BPE и CPD равна углу BPC, который равен 180 градусов $дополнительныйуголвчетырехугольникеBPCD$. Поэтому угол BPE + угол CPD = 180 градусов.
Но угол BPE = угол CPD, поэтому 2 * угол BPE = 180 градусов, откуда угол BPE = 90 градусов. Получается, что угол между диагоналями параллелограмма равен 90 градусов.