Для начала обозначим за x длину средней линии трапеции. Так как AC и BD являются диагоналями, то они делят друг друга пополам. То есть AC = 4 и BD = 5.

Далее, известно, что угол CAD равен удвоенному углу BDA. Обозначим угол BDA за y. Тогда угол CAD равен 2y. Так как сумма углов внутри трапеции равна 360 градусов, то получаем уравнение:
y + y + 2y + 180 = 360
4y + 180 = 360
4y = 180
y = 45

Теперь воспользуемся теоремой косинусов и найдем длину стороны CD:
CD^2 = AC^2 + AD^2 - 2ACADcos(2y)
CD^2 = 4^2 + 5^2 - 245cos(90)
CD^2 = 16 + 25 - 40*0
CD^2 = 41
CD = sqrt(41)

Так как средняя линия делит сторону CD пополам, то можем составить уравнение:
x^2 = (CD/2)^2 + 4^2 - 2(CD/2)4cos(y)
x^2 = (sqrt(41)/2)^2 + 16 - 4sqrt(41)cos(45)
x^2 = 41/4 + 16 - 4sqrt(41)(sqrt(2)/2)
x^2 = 41/4 + 16 - 4sqrt(82)/2
x^2 = 41/4 + 32 - 2sqrt(82)
x^2 = 73 - 2sqrt(82)
x = sqrt(73 - 2*sqrt(82))

Таким образом, длина средней линии трапеции равна sqrt(73 - 2*sqrt(82)).