Пусть верхнее основание трапеции равно a см, а боковая сторона b см. Так как угол в вершине трапеции равен 120 градусов, то противоположные стороны равны по длине. Таким образом, длина нижнего основания трапеции также равна a см.

По условию задачи, средняя линия трапеции, которую мы обозначим как c см, делится диагональю на две части: 3 см и 6 см.

Так как диагональ трапеции делит ее на два равнобедренных треугольника, мы можем выразить длину средней линии c через длину верхнего основания a и расстояние от точки пересечения диагонали с средней линией до нижнего основания b. Это дает нам следующее уравнение:

c^2 = a^2 + b^2

Учитывая, что средняя линия делится на части длиной 3 см и 6 см, мы можем выразить ее длину через a и b:

c = (3b + 6b)/9 = 3b

Таким образом, у нас есть два уравнения:

a^2 + b^2 = 9b^2
3b = c

Решая их, мы найдем a = 4,5 см и b = 3 см.

Теперь, когда мы знаем длины всех сторон трапеции, можем найти ее периметр:

Периметр = a + a + b + b = 2a + 2b = 2 4,5 + 2 3 = 9 + 6 = 15 см

Итак, периметр равнобедренной трапеции равен 15 см.