Для нахождения радиуса окружности, проходящей через середины сторон треугольника, воспользуемся формулой радиуса окружности, вписанной в треугольник:

r = S / p,

где r - радиус окружности, S - площадь треугольника, p - полупериметр треугольника.

Сначала найдем площадь треугольника по формуле Герона:

p = (a + b + c) / 2 = (5 + 7 + 8) / 2 = 10,

S = √(p (p - a) (p - b) (p - c)) = √(10 (10 - 5) (10 - 7) (10 - 8)) = √(10 5 3 * 2) = √300 = 10√3.

Теперь найдем радиус окружности, проходящей через середины сторон треугольника:

r = S / p = 10√3 / 10 = √3.

Итак, радиус окружности, проходящей через середины сторон треугольника, равен √3 см.