В равностороннем треугольнике с высотой, проведенной из вершины, делит этот треугольник на два равнобедренных треугольника.

Таким образом, высота образует прямоугольный треугольник СНМ, где СН - высота, М - середина стороны АВ, а N - основание перпендикуляра. Таким образом, MN = AB/2.

Так как треугольник СМН - прямоугольный и высота равна 39√3, а угол между высотой и основанием прямой, то по теореме Пифагора:

(AB/2)^2 + 39^2*3 = AB^2.

AB^2/4 + 1521*3 = AB^2.

31521 = 3AB^2/4.

4563 = 3AB^2/4.

4*4563 = 3AB^2.

18252 = 3AB^2.

AB^2 = 18252/3.

AB^2 = 6084.

AB = √6084.

AB = 78.

Строна АВ равна 78.