Признаки параллелограмма:

Противоположные стороны параллельны.Противоположные стороны равны по длине.Противоположные углы равны.Диагонали параллелограмма делятся пополам.

Докажем, что противоположные стороны параллельны.

Предположим, что у нас есть параллелограмм ABCD. Для доказательства параллельности сторон отрезаем две диагонали – AC и BD. Так как AC и BD подвижны, возьмем их как стороны двух треугольников: ABC и ADC.

В треугольнике ABC угол ABC = углу ADC = α (так как противоположные углы параллельных прямых равны), а в треугольнике ADC угол DAC = углу BAC.

Сразу же заметим, что AB = DC (по условию параллелограмма), BD = AC (так как диагонали делятся пополам) и углы BAC и DAC равны, так как они дополнительны к α. Таким образом, по стороне, которую сравниваем, и по двум прилежащим углам треугольники ABC и ADC равны. Следовательно, треугольники ABC и ADC равны.

Таким образом, AC || BD.