Для начала заметим, что из условия MN = ML и NP = LP следует, что треугольники MNP и MLP равнобедренные.

Теперь предположим, что отрезок MP не перпендикулярен NL. Тогда проведем высоту из вершины M треугольника MNP на сторону NP, и обозначим точку пересечения с NP как Q. Также проведем высоту из вершины M треугольника MLP на сторону PL, и обозначим точку пересечения с PL как R.

Так как треугольники MNP и MLP равнобедренные, то высоты MQ и MR являются медианами в соответствующих треугольниках. Тогда проведем прямую через точку M параллельно стороне NP, и обозначим точку пересечения с NL как S.

Теперь рассмотрим треугольник MSN и треугольник MSR. В данных треугольниках углы NMS и RMS равны, так как прямые MP, NP и MP, LP являются медианами в соответствующих треугольниках. Также углы SМN и SМR равны, так как прямые NS и SR параллельны. Таким образом, углы NMS и RMS равны, а углы SМN и SМR равны, следовательно, треугольники MSN и MSR равны.

Но это противоречит условию, что N и L лежат в разных полуплоскостьях относительно прямой MP. Следовательно, наше предположение неверно, и отрезок MP перпендикулярен NL. Теорема доказана.