Обозначим длины отрезков AO и OC как x и y соответственно.

Так как периметры треугольников ВОС и АОD относятся как 2:3, то можем написать:

(VO + OS + VC) / (AD + AO + OD) = 2 / 3

(VO + y + 40) / (20 + x + 20) = 2/3

(VO + y + 40) / (x + y + 40) = 2/3

3VO + 3y + 120 = 2x + 2y + 80

3VO - 2x = -y - 40

(1)

Также заметим, что треугольник AOC является подобным треугольнику BOV, так как углы противоположные равны (база параллельна боковым сторонам трапеции), а углы при основаниях трапеции равны. Следовательно,

AO / BO = OC / OV

x / 20 = y / (20 + y)

x(20 + y) = 20y

20x + xy = 20y

20x = 20y - xy

20x = y(20 - x)

y = 20x / (20 - x)

(2)

Теперь подставим уравнение (2) в уравнение (1):

3VO - 2x = - 20x / (20 - x) - 40

3VO - 2x = - 20x - 40(20 - x) / (20 - x)

3VO - 2x = - 20x - 800 + 40

3VO = - 22x - 760

VO = (- 22x - 760) / 3

Так как VO = OC, то y = (- 22x - 760) / 3

Подставим y в уравнение (2):

x(20 - x) = (- 22x - 760) / 3

60x - x^2 = - 22x - 760

x^2 - 38x + 760 = 0

Найдем корни квадратного уравнения:

x1 = 19
x2 = 19

Так как x = 19, то

y = 20(19) / (20 - 19) = 380

Итак, длины отрезков АО и OC равны 19 и 380 соответственно.