Из условия известно, что AD = 12 см и BC = 4 см. Также дано, что угол SAOD = 45 градусов.

Рассмотрим треугольник SAD. Так как угол SAOD = 45 градусов, то угол SAB = 90 градусов (т.к. это дополнительный угол к прямому углу). Таким образом, треугольник SAB является прямоугольным треугольником.

Для решения задачи нам нужно найти длины боков и высоту трапеции ABCD.

Рассмотрим треугольник SAD.
Используем теорему Пифагора:
SA^2 = AD^2 + SD^2
SA^2 = 12^2 + SD^2
SA = √(12^2 + SD^2)

Так как угол SAB = 90 градусов, то треугольник SAB прямоугольный.
Из подобия треугольников мы можем записать:
SA/AD = AB/BC
AB = (SA BC) / AD
AB = ( √(12^2 + SD^2) 4) / 12

Теперь найдем высоту трапеции.
Так как угол SAOD = 45 градусов, то SD = AD / 2 = 12 / 2 = 6.

Найдем площадь трапеции.
S = (AB + CD) h / 2
S = (( √(12^2 + SD^2) 4) / 12 + 4) 6 / 2
S = ((( √(12^2 + 6^2) 4) / 12 + 4) 6) / 2
S = (( √(144 + 36) 4) / 12 + 4) 6 / 2
S = (( √180 4) / 12 + 4) 6 / 2
S = ((~13.42 4) / 12 + 4) 6 / 2
S = (53.68 / 12 + 4) 6 / 2
S = (4.47 + 4) 6 / 2
S = 8.47 6 / 2
S = 50.82 / 2
S = 25.41

Таким образом, площадь трапеции ABCD равна 25.41 квадратных сантиметра.