а) Обозначим сторону квадрата, из которого состоит основание параллелепипеда, за а. Тогда его измерения будут a:a:2a. Так как диагональ параллелепипеда равна 6, то применим теорему Пифагора:

(a^2 + a^2 + (2a)^2 = 6^2)

(2a^2 + 4a^2 = 36 )

(6a^2 = 36 )

(a^2 = 6 )

(a = \sqrt{6})

Измерения параллелепипеда: (\sqrt{6}:\sqrt{6}:2\sqrt{6})

б) Синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания можно найти как отношение длины высоты к длине диагонали основания (расстояние от вершины к основанию):

(\sin \theta = \frac{h}{6}),

где h - высота параллелепипеда. Так как его измерения относятся 1:1:2, то его высота равна (\sqrt{6}). Подставляем значения:

(\sin \theta = \frac{\sqrt{6}}{6}).

Ответ: б) (\sin \theta = \frac{\sqrt{6}}{6}).