1) Пусть катет равен (2\sqrt{2}), а другой катет равен (\frac{1}{3}) от гипотенузы. Пусть гипотенуза равна (x), тогда другой катет равен (\frac{x}{3}).

По теореме Пифагора:
[(2\sqrt{2})^2 + \left(\frac{x}{3}\right)^2 = x^2]
[8 + \frac{x^2}{9} = x^2]
[9x^2 + 72 = 9x^2]
[72 = 8x^2]
[x^2 = 9]
[x = 3]

Итак, гипотенуза треугольника равна 3.

2) Скалярное произведение векторов (a) и (b) равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Поскольку векторы направлены одинаково, косинус угла между ними равен 1, следовательно, скалярное произведение равно
[a \cdot b = 3 \cdot 1 = 3]

3) В равнобедренной трапеции высота равна половине разности длин оснований. Пусть длина меньшего основания равна (a), тогда длина большего основания равна (a+6).

Из подобия прямоугольных треугольников средняя линия и высота равными 3 и 5 соответственно получаем:
[\frac{x}{3} = \frac{x/2}{5} = \frac{a+6-a}{3}]
[\frac{x}{3} = \frac{1}{2}x = \frac{6}{3} = 2]
[x = 6]

Таким образом, высота трапеции равна 6.