Для начала найдем катеты треугольника abc. По условию, sin B = 1/√10, а sin B = b/c, где b - катет, противолежащий углу B, а c - гипотенуза. Таким образом, b = c/√10.

Так как угол C равен 90 градусов, то по теореме Пифагора имеем:

a^2 + b^2 = c^2

a^2 + (c/√10)^2 = c^2

a^2 + c^2/10 = c^2

9a^2 = 9c^2 - c^2

9a^2 = 8c^2

a = c√8/3

Теперь можем найти tg A (тангенс угла A):

tg A = a/b

tg A = c√8/3 / (c/√10)

tg A = √80/3

Ответ: tg A = √80/3.