Пусть прямоугольник ABCD имеет стороны AB и BC, причем AB ≠ BC. Пусть I и J - точки пересечения биссектрис углов A и C со сторонами прямоугольника соответственно.

Так как AI и CJ являются биссектрисами углов, то углы AIB и CJD равны между собой и равны по половине углов ABC и BCD соответственно. В частности, угол AIB равен углу ADB.

Так как прямоугольник ABCD, то угол A и угол C прямые. Следовательно, угол ADB и угол CDB равны между собой и равны по половине углов ABC и BCD соответственно.

Отсюда угол AIB равен углу CDB. Из равенства двух углов следует, что треугольники AIB и CDB подобны. Следовательно, в них соответственные стороны пропорциональны.

Произведем замену одной из сторон на ее равную сторону, чтобы сделать противоположные стороны равными. Пусть AB=BC. Тогда треугольники AIB и CDB равны, и в них AI=BJ. Таким образом, получаем IJ=AI=BJ, что означает, что IJ – это сторона квадрата, образованного биссектрисами углов прямоугольника.