Поскольку угол С = 90 градусов, а СН - высота, то угол НСА = 30 градусов (так как треугольник АСН - прямоугольный).

Таким образом, у нас получается равнобедренный треугольник АНС, в котором угол НАС = угол НСА = 30 градусов.

Так как у треугольника АВС угол А = 30 градусов, то треугольники АВС и АНС подобны.

Из подобия треугольников:

AN/AB = NS/CS
AN/24 = CN/CS

Так как у нас угол НАС = 30 градусов, а угол С = 90 градусов, то угол НСА = 60 градусов. Значит, треугольник СНВ - прямоугольный.

Таким образом, можно утверждать, что:
cos 60 = CN/CS
1/2 = CN/(CS-24)
CS - 24 = 2*CN

Мы уже знаем, что AB = 24 см, следовательно AN = 24 (так как треугольник АНС равнобедренный)

Применим теорему Пифагора к треугольнику АНС:
AN^2 + CN^2 = CS^2
24^2 + CN^2 = CS^2
576 + CN^2 = CS^2

Также мы знаем, что CS - 24 = 2CN
Поэтому CS^2 - 48CS + 576 = 4CN^2

Подставим значение CS^2 из первого уравнения во второе уравнение:
576 + CN^2 = 48CN - 48 + 576
CN^2 - 48CN + 48 = 0
(CN - 24)(CN - 2) = 0

CN = 24 или CN = 2

Так как расстояние от точки C до точки N не может быть равно 24 см, то CN = 2 см.

Таким образом, ВН = 24 - 2 = 22 см.

Ответ: ВН = 22 см.