Для нахождения площади равнобедренного треугольника с боковой стороной 10 см, нам нужно знать высоту треугольника. Высота проведена из вершины треугольника к основанию, перпендикулярно к основанию.

Зная, что углы треугольника относятся как 5:2:5, мы можем сказать, что основание треугольника разделено на 5 частей: 2 части - это каждая из равных сторон равнобедренного треугольника, и 5 частей - это основание.

Зная это, мы можем найти высоту треугольника через:

h = a sqrt(1 - (2/5)^2) = 10 sqrt(1 - 0.16) = 10 * sqrt(0.84) ≈ 8.2 см.

Теперь мы можем найти площадь треугольника по формуле:

S = 0.5 a h = 0.5 10 8.2 = 41 см^2.

Итак, площадь равнобедренного треугольника с боковой стороной 10 см равна 41 квадратным сантиметрам.