Для того чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, нужно показать, что противоположные стороны параллельны.

Сначала найдем уравнения прямых, содержащих стороны четырехугольника ABCD.

Сторона AB:
Уравнение прямой, проходящей через точки A(1,-5) и B(2,3):
y = (3 - (-5))/(2 - 1)*(x - 1) - 5
y = 8(x - 1) - 5
y = 8x - 8 - 5
y = 8x - 13

Сторона BC:
Уравнение прямой, проходящей через точки B(2,3) и C(-3,1):
y = (1 - 3)/(-3 - 2)*(x - 2) + 3
y = -2(-x + 2) + 3
y = 2x - 4 + 3
y = 2x - 1

Сторона CD:
Уравнение прямой, проходящей через точки C(-3,1) и D(-4,-7):
y = (-7 - 1)/(-4 + 3)*(x + 3) + 1
y = -8(x + 3) + 1
y = -8x - 24 + 1
y = -8x - 23

Сторона DA:
Уравнение прямой, проходящей через точки D(-4,-7) и A(1,-5):
y = (-5 - (-7))/(1 - (-4))*(x + 4) - 7
y = 2(x + 4) - 7
y = 2x + 8 - 7
y = 2x + 1

Теперь нам нужно показать, что противоположные стороны AB и CD, а также BC и DA параллельны. Для этого посмотрим на коэффициенты при x в уравнениях прямых.

Коэффициенты при x у прямых AB и CD равны 8 и -8 соответственно, что говорит о параллельности этих сторон.

Коэффициенты при x у прямых BC и DA равны 2 и 2 соответственно, что также говорит о их параллельности.

Таким образом, четырехугольник ABCD является параллелограммом.