Для начала найдем высоту треугольной призмы:

Площадь основания треугольной призмы равна (S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h), где AB - сторона основания, h - высота.

Имеем: (27\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h)

Так как это правильная треугольная призма, то AB = AC = BC, следовательно (h = \sqrt{3} \cdot AB)

Подставляем это в уравнение: (27\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot \sqrt{3} \cdot AB)

(27 = \frac{1}{2} \cdot AB^2)

(AB = 3\sqrt{6})

Теперь найдем диагональ основания треугольной призмы:

(AA_1 = \sqrt{AB^2 + BB_1^2})

Так как треугольник ABB_1 - прямоугольный, то (BB_1 = \frac{AB}{2} = \frac{3\sqrt{6}}{2})

(AA_1 = \sqrt{(3\sqrt{6})^2 + (\frac{3\sqrt{6}}{2})^2} = \sqrt{54 + 27} = \sqrt{81} = 9)

Итак, (AA_1 = 9)