Так как ABCD является ромбом, то у него все стороны равны. Пусть сторона ромба равна х. Тогда по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника ОКВ:
$$
ОК^2 + КВ^2 = ОВ^2
$$
$$
4\sqrt{3}^2 + x^2 = \dfrac{x}{2}^2
$$
$$
12 + x^2 = \dfrac{x^2}{4}
$$
$$
12 \cdot 4 + 4x^2 = x^2
$$
$$
48 = 3x^2
$$
$$
x^2 = 16
$$
$$
x = 4
$$
Таким образом, сторона ромба равна 4 см.

Так как диагонали ромба взаимно перпендикулярны, а также делятся пополам, то ОВ = 8 см.

Далее, по теореме Пифагора для треугольника ОВА:
$$
ОА^2 = ОВ^2 + АВ^2
$$
$$
ОА^2 = 8^2 + 9^2
$$
$$
ОА = \sqrt{64 + 81} = 13
$$
Теперь, так как АО = ОС = 13 см, а ВО = ОD = 8 см, то ABCD - трапеция, так как два её противоположных угла равны, что и требовалось доказать.

Наконец, найдем вторую диагональ ромба ABCD. По теореме Пифагора для треугольника ОАВ:
$$
АО^2 + ОВ^2 = АВ^2
$$
$$
13^2 + 8^2 = АВ^2
$$
$$
169 + 64 = АВ^2
$$
$$
233 = АВ^2
$$
$$
АВ = \sqrt{233}
$$
Следовательно, вторая диагональ ромба ABCD равна $$\sqrt{233}$$ см.