Для решения данной задачи мы можем воспользоваться теоремой синусов. Пусть третья сторона треугольника равна ( c ).

Имеем следующие данные:

( a = 5 ) см, ( b = 8 ) см, ( \sin(\alpha) = 0.8 ).

Тогда можем записать уравнение по теореме синусов:

[ \dfrac{a}{\sin(\alpha)} = \dfrac{c}{\sin(\beta)} ]

Заменяем известные значения:

[ \dfrac{5}{0.8} = \dfrac{c}{\sin(\beta)} ]

[ 6.25 = \dfrac{c}{\sin(\beta)} ]

Так как угол между сторонами ( a ) и ( c ) равен ( \beta ), то ( \sin(\beta) = \sin(180 - \alpha) = \sin(180 - \arcsin(0.8)) = \sin(33.557) \approx 0.548 ).

Подставляем значение синуса угла ( \beta ) в уравнение:

[ 6.25 = \dfrac{c}{0.548} ]

[ c \approx 6.25 \cdot 0.548 ]

[ c \approx 3.43 \text{ см} ]

Таким образом, третья сторона треугольника равна примерно 3.43 см.