Пусть сторона основания четырехугольной призмы равна а.

Так как диагональ призмы равна 10, то по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного диагональю и стороной основания, имеем: (a^2 + a^2 = 10^2), то есть (2a^2 = 100), откуда (a^2 = 50), следовательно (a = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}).

Диагональ боковой грани равна 8. Так как боковая грань прямоугольная, то по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами а и 8, получим (5\sqrt{2}^2 + 8^2 = c^2), откуда (50 + 64 = c^2), то есть (c^2 = 114), откуда (c = \sqrt{114} = 2\sqrt{19}).

Периметр основания призмы равен 4а, следовательно периметр равен (4 \cdot 5\sqrt{2} = 20\sqrt{2}).