Обозначим стороны прямоугольного параллелепипеда через a, b и c. Пусть O - центр шара, M - общая вершина трех граней, касающихся шара. Так как шар касается трех граней, имеющих общую вершину, то он описан около прямоугольного треугольника. Для нахождения расстояния от центра шара до вершины треугольника воспользуемся формулой для объема шара: V = 4/3 П r^3, где r - радиус шара.

Так как V = 34П/3, то r = 3√34 / 4.

Также в прямоугольном треугольнике MOA применим теорему Пифагора: r^2 + a^2 + b^2 = c^2, где c - гипотенуза треугольника.

Поскольку MO равно r, а OA и AM равны сторонам прямоугольника, то a = b = r, и уравнение принимает вид: 3r^2 = c^2.

Таким образом, 3*(3√34 / 4)^2 = c^2, откуда c = 3√34 / 2.

Расстояние от центра шара до вершины треугольника равно r + c = 3√34 / 4 + 3√34 / 2 = 9√34 / 4.