Пусть дана плоскость $\alpha$ и прямые $a$ и $b$, параллельные друг другу.

Теорема 1: Если прямые $a$ и $b$ параллельны плоскости $\alpha$, то прямые, перпендикулярные к этой плоскости и проходящие через прямые $a$ и $b$, также параллельны друг другу.

Доказательство:

Пусть $c$ и $d$ - прямые, перпендикулярные к плоскости $\alpha$ и проходящие через прямые $a$ и $b$ соответственно. Предположим, что прямые $c$ и $d$ не параллельны друг другу. Тогда они сойдутся в какой-то точке $O$. Проведем через точку $O$ прямую, перпендикулярную к плоскости $\alpha$. Обозначим эту прямую как $e$. Так как прямые $c$ и $d$ перпендикулярны к плоскости $\alpha$, то прямая $e$ параллельна прямым $a$ и $b$. Таким образом, получаем, что прямые $a$ и $b$ пересекаются, что противоречит начальному условию. Значит, предположение о том, что прямые $c$ и $d$ не параллельны, неверно, и они действительно параллельные.

Теорема 2: Если прямые $a$ и $b$ перпендикулярны к плоскости $\alpha$, и прямые, перпендикулярные к этой плоскости и проходящие через прямые $a$ и $b$, параллельны друг другу, то прямые $a$ и $b$ параллельны между собой.

Доказательство:

Предположим, что прямые $a$ и $b$ не параллельны между собой. Тогда они пересекаются в точке $O$. Через эту точку проведем прямую, перпендикулярную к плоскости $\alpha$, и обозначим ее как $c$. Так как прямые $a$ и $b$ перпендикулярны к плоскости $\alpha$, то прямая $c$ параллельна прямым $a$ и $b$. Но, согласно условию теоремы, прямые $c$ и $d$ параллельны, что противоречит предположению о пересечении прямых $a$ и $b$. Следовательно, начальное предположение неверно, и прямые $a$ и $b$ действительно параллельны между собой.

Таким образом, теоремы о связи между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости доказаны.