Пусть катет АС равен x см.

Так как СН является высотой, то катет АН равен 12 см.

Треугольник АНВ подобен треугольнику АСВ, так как у них углы при вершине С равны, следовательно, у них также равны соответствующие стороны в подобных треугольниках.

Найдем длину гипотенузы треугольника АВС:
AB = AN + NB = 12 + 9 = 21 см

Теперь можем составить пропорцию для подобных треугольников:
12/21 = 9/x

Отсюда найдем x:
12x = 189
x = 15.75 см

Теперь найдем косинус угла A:
cos(A) = AC / AB
cos(A) = 15.75 / 21
cos(A) ≈ 0.75

Ответ: катет АС равен 15.75 см, косинус угла А равен 0.75.