Пусть дана трапеция $ABCD$, в которую можно описать окружность с центром $O$ и радиусом $r$.
Так как $O$ – центр описанной окружности, то $OA=OB=OC=OD=r$.

Рассмотрим треугольник $AOB$.
Так как радиусы окружностей равны, то у треугольника $AOB$ есть две равные стороны – $AO=BO$.
Также, сторона $AB$ трапеции является общей для треугольников $ACD$ и $BDC$.
Рассмотрим треугольники $ACD$ и $BDC$.
У этих треугольников стороны $AB$ и $CD$ равны.

Из этого следует, что треугольники $AOB$ и $ACD$ равны по стороне – $AO=CD$ и по стороне – $AB$.
Таким образом, у этих треугольников равны базы – $AC=BD$.

Следовательно, трапеция $ABCD$ является равнобедренной.

Таким образом, если около трапеции можно описать окружность, то эта трапеция равнобедренная.