Для доказательства этого утверждения, рассмотрим два круга с центрами O и O', радиусами r и r', и расстоянием между их центрами d.

Пусть даны два круга с центрами O и O'. Для того чтобы доказать, что они подобны, нужно показать, что соответствующие стороны их подобных треугольников пропорциональны.

Рассмотрим треугольники OAB и O' A' B', где точки A и B – точки пересечения окружностей с радиусами r и r' и центрами O и O'.

Из геометрии окружности видно, что треугольники OAB и O' A' B' являются равнобедренными и схожими с треугольником OAO'. Таким образом, у них равны углы O и O'.

Рассмотрим теперь соответствующие стороны этих треугольников.

OA/OA' = OB/OB' = 1 (радиусы кругов равны)

Теперь у нас есть два равнобедренных треугольника OAB и O' A' B', у которых углы O и O' равны, и соответствующие стороны пропорциональны. Следовательно, данные круги являются подобными.