Для начала найдем длины сторон ромба. Пусть ( a ) и ( b ) - длины сторон ромба, ( h ) - высота параллелепипеда.

Площадь ромба ( S = \frac{ab}{2} = 121 ) см(^2)

Площадь диагонального сечения, параллельного стороне ( a ) равна ( \frac{a \cdot 22}{2} = 11a ) см(^2)

Площадь диагонального сечения, параллельного стороне ( b ) равна ( \frac{b \cdot 44}{2} = 22b ) см(^2)

Из условия задачи известно, что ( 11a + 22b = 44 ) см(^2). Также известно, что ( S = 121 ) см(^2).

Теперь найдем высоту параллелепипеда, используя подобные треугольники внутри параллелепипеда.

Получим, что ( h = \frac{2S}{a+b} = \frac{242}{a+b} ).

Итак, остаётся решить систему уравнений:

[
\left{
\begin{aligned}
11a + 22b &= 44 \
ab &= 242
\end{aligned}
\right.
]

Из первого уравнения имеем, что ( a = \frac{44 - 22b}{11} = 4 - 2b ). Подставим это значение во второе уравнение:

[
(4-2b)b = 242 \
4b - 2b^2 = 242 \
b^2 - 2b + 121 = 0
]

Решая это квадратное уравнение, получаем два корня: ( b_1 = b_2 = 11 ).

Также с учётом значения ( a = 4 - 2b = 4 - 2 \cdot 11 = -18 ) - нам не подходит, так как длина не может быть отрицательной.

Таким образом, длина сторон ромба ( a = 11 ) см и ( b = 11 ) см, а высота параллелепипеда ( h = \frac{242}{11+11} = \frac{242}{22} = 11 ) см.