Две окружности пересекаются в точках P и Q. Через точку A первой окружности проведены прямые AP и AQ, пересекающие вторую окружность в точках B и C. Докажите, что касательная в точке A к первой окружности параллельна прямой BC.
Две окружности пересекаются в точках P и Q. Через точку A первой окружности проведены прямые AP и AQ, пересекающие вторую окружность в точках B и C. Докажите, что касательная в точке A к первой окружности параллельна прямой BC.
Похожие вопросы
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Обозначим через O центр первой окружности. Так как AP и AQ – касательные, то угол OAP равен углу PAC (угол, образованный касательной и радиусом в точке касания, равен углу, образованному радиусом и хордой, опирающейся на этот радиус). Аналогично угол PAO равен углу ACQ.
Итак, имеем: угол OAP равен углу PAC, а угол PAO равен углу ACQ. Отсюда следует, что треугольники OAP и PAC равны по двум углам и общей стороне, то есть треугольники равны. Таким образом, OA равно PC, а значит углы APC и OCA равны.
Отсюда следует, что угол CBA равен углу OCA (как вертикальные углы), а угол AOC равен углу BAC. Так как угол BAC равен углу OCA (из равенства треугольников OAP и PAC), то получаем, что угол CBA равен углу AOB.
Значит, прямые AB и OC параллельны. Так как AB – касательная к окружности в точке A, то прямая AB параллельна прямой, проведенной через точку касания и центр окружности, то есть AB параллельна BC.