Для доказательства того, что треугольник АВС равнобедренный необходимо показать, что две стороны треугольника равны.

Для этого найдем длины сторон треугольника АВС. Для этого посчитаем длины векторов AB, BC, CA:

AB = В - A = (1 - 2; -5 - 1; 0 - (-8)) = (-1; -6; 8)
BC = C - B = (8 - 1; 1 - (-5); -4 - 0) = (7; 6; -4)
CA = A - C = (2 - 8; 1 - 1; -8 - (-4)) = (-6; 0; -12)

Далее найдем середины этих сторон:

M_AB = (A + B)/2 = ((2 + 1)/2; (1 - 5)/2; (-8 + 0)/2) = (1.5; -2; -4)
M_BC = (B + C)/2 = ((1 + 8)/2; (-5 + 1)/2; (0 - 4)/2) = (4.5; -2; -2)
M_CA = (C + A)/2 = ((8 + 2)/2; (1 + 1)/2; (-4 - 8)/2) = (5; 1; -6)

Теперь найдем длину серединной линии M_AB:

M_AB = √((-1.5)^2 + (-2)^2 + (-4)^2) = √(2.25 + 4 + 16) = √22.25 = 4.72

Теперь можно заметить, что длина серединной линии M_BC также равна 4.72, а длина серединной линии M_CA равна √(5^2 + 1^2 + (-6)^2) = √(25 + 1 + 36) = √62 ≈ 7.87.

Таким образом, треугольник АВС равнобедренный, так как длина серединной линии, соединяющей середины боковых сторон AB и BC, равна длине серединной линии, соединяющей середины боковых сторон BC и CA, и не равна длине серединной линии, соединяющей середины боковых сторон CA и AB.