Медианы FH и DK треугольника DEF пересекаются в точке О. Треугольники KOH и DOF подобны. Докажите, что площади треугольников DOF, EKH относятся друг к другу как 4 : 3
Медианы FH и DK треугольника DEF пересекаются в точке О. Треугольники KOH и DOF подобны. Докажите, что площади треугольников DOF, EKH относятся друг к другу как 4 : 3
Похожие вопросы
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Введем обозначения: пусть FH пересекает DE в точке M, а DK пересекает EF в точке N. Так как медиана FH делит сторону DE пополам, то OM=ME. Аналогично, ND=DN.
Так как треугольники KOH и DOF подобны, то соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны:
KO/DO = OH/OF = KH/DF.
Так как OH=2OM и ОF=2DN, то отсюда следует, что KH=2FM и DF=2EN.
Поскольку FM=ME и EN=DN, получаем, что KH=2ME=ME+EM=KE и DF=2DN=DN+DN=DF=KF.
Таким образом, треугольники DEF и KEH равны, поэтому их площади также равны. Аналогично, треугольники EKH и FDK равны, поэтому их площади также равны.
Итак, площади треугольников DOF, EKH относятся друг к другу как площади треугольников DEF, KEH, то есть 4:3.