Используем формулу Герона для нахождения площади треугольника ABC:

p = (AB + AC + BC) / 2 = (15 + 20 + 32) / 2 = 67 / 2 = 33.5

S_ABC = √(p (p - AB) (p - AC) (p - BC)) = √(33.5 18.5 13.5 1.5) ≈ √34902.375 ≈ 186.78

Теперь найдем площадь треугольника ADE. Для этого воспользуемся формулой площади треугольника через основание и высоту:

S_ADE = (AD AE) / 2 = (9 12) / 2 = 54

Найдем высоту треугольника ABC, проведенную из вершины A на сторону BC. Обозначим данную высоту через h. Для нахождения h воспользуемся формулой площади треугольника через основание и высоту:

S_ABC = (BC h) / 2
186.78 = (32 h) / 2
186.78 = 16h
h = 186.78 / 16 = 11.67

Теперь найдем площадь треугольника ADE через площадь треугольника ABC:

S_ADE = (S_ABC DE) / BC
54 = (186.78 DE) / 32
54 32 = 186.78 DE
1728 = 186.78 * DE
DE ≈ 9.25

Отношение площадей треугольников ABC и ADE:

S_ABC / S_ADE = 186.78 / 54 ≈ 3.46

Итак, DE ≈ 9.25 м, отношение площадей треугольников ABC и ADE составляет примерно 3.46.