Для начала обозначим точки пересечения биссектрисы AL с сторонами треугольника ABC как точки D и E. Таким образом, мы получаем, что AD = DL и AE = EL.

Поскольку треугольник ABC равносторонний, то у него все стороны равны между собой, т.е. AB = AC = BC. Также у равностороннего треугольника все углы равны между собой, т.е. угол ABC = угол BAC = угол ACB = 60 градусов.

Из свойств биссектрисы известно, что угол BAL равен углу CAE, а угол CAL равен углу BAE. Так как углы BAL и CAL смежные с углом BAC, то получаем, что угол BAL равен углу CAL. Аналогично, угол CAE равен углу BAE.

Теперь, у нас получилось, что у треугольников ABD и ABE равные углы (углы ABD и AEB равны из-за равенства сторон AB и AE, углы ADB и ABE равны из-за равенства сторон AD и AE). Таким образом, треугольники ABD и ABE подобны.

Тогда, из подобия треугольников ABD и ABE по теореме о пропорциональности в прямоугольном треугольнике (ADL) получаем, что DL / EL = DA / EA. Но DL = AD и EL = AE, поэтому получаем, что AD / AE = DA / EA => AD ^ 2 = AE ^ 2, откуда AD = AE.

Следовательно, точки D и E совпадают и AL является высотой треугольника ABC, проходящей через вершину A и перпендикулярной основанию BC.