Для начала найдем стороны прямоугольного треугольника.
Обозначим катеты треугольника через (a) и (b), а гипотенузу через (c).
Тогда из условий задачи получаем систему уравнений:

[ \left{
\begin{array}{l}
a + b + c = 15 \
a^2 + b^2 + c^2 = x
\end{array}
\right.]

где (x) - неизвестное значение.

Так как треугольник прямоугольный и периметр равен 15, то сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

[ a^2 + b^2 = c^2 ]

Подставим это во второе уравнение:

[ a^2 + b^2 + (a^2 + b^2) = x ]
[ 2(a^2 + b^2) = x ]

Таким образом, (x = 2(c^2) = 2(15^2 - 15) = 2(225 - 15) = 2 \cdot 210 = 420 )

Теперь найдем радиусы вписанной и описанной окружностей.

Радиус описанной окружности равен половине гипотенузы треугольника:

[ R = \frac{c}{2} = \frac{15}{2} = 7.5 ]

Радиус вписанной окружности равен полупериметру треугольника, деленному на полусумму катетов:

[ r = \frac{a + b - c}{2} = \frac{15 - 10}{2} = 2.5 ]

Итак, радиус описанной окружности (R = 7.5), а радиус вписанной окружности (r = 2.5).