Пусть точка С - точка пересечения перпендикуляров, а h - расстояние между плоскостями.

Треугольник АСВ - прямоугольный, так как он лежит в перпендикулярных плоскостях. По условию, AC = a, BC = b, AB = x. Тогда по теореме Пифагора для данного треугольника получаем:
AB^2 = AC^2 + BC^2
x^2 = a^2 + b^2

Также, по теореме Пифагора для треугольника ACS получаем:
c^2 = a^2 - h^2

А для треугольника BCS:
c^2 = b^2 - h^2

Выразим из этих уравнений h^2:

a^2 = c^2 + h^2
b^2 = c^2 + h^2

Отсюда следует, что a^2 = b^2, а следовательно a = b.

Таким образом, мы получаем:
x^2 = 2a^2
x = sqrt(2) * a

Следовательно, длина отрезка АВ равна sqrt(2) * a.