Пусть вершина прямого угла треугольника обозначена как $A$, основание, на которое опущена медиана и высота, как $BC$. Тогда медиана и высота в прямоугольном треугольнике равны половине гипотенузы, то есть $AM = MC = 25$ см и $BH = HC = 24$ см.

Так как $AM = MC$, то точка $M$ является серединой гипотенузы $BC$. Значит, треугольник $ABC$ является равнобедренным.

Пусть $AB = AC = x$, $BC = a$. По теореме Пифагора:
$x^2 + x^2 = a^2$, $2x^2 = a^2$,
$x\sqrt{2} = a$.

Пусть $AH = h$, тогда:
$h^2 + BH^2 = AB^2$,
$h^2 + 24^2 = x^2$,
$h^2 + 24^2 = \frac{a^2}{2}$,
$h^2 + 24^2 = \frac{2x^2}{2}$,
$h^2 + 24^2 = x^2$.

Из двух уравнений связывающих $x$ и $a$:
$x\sqrt{2} = a$,
$x^2 = 625$,
$x = 25$.

Тогда периметр треугольника равен:
$P = AB + AC + BC$,
$P = 25 + 25 + 25\sqrt{2}$,
$P = 50 + 25\sqrt{2}$.

Ответ: Периметр треугольника равен $50 + 25\sqrt{2}$ см.