Боковая грань правильной треугольной призмы является прямоугольным треугольником, поэтому можем воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения длины основания треугольника:

a^2 + b^2 = c^2,
где a и b - катеты, c - гипотенуза.

Так как боковое ребро = 9 см, а диагональ боковой грани = 15 см, то:
a^2 + 9^2 = 15^2,
a^2 = 225 - 81,
a^2 = 144,
a = 12.

Таким образом, основание треугольника равно 12 см.

Теперь найдем высоту треугольника, которая равна радиусу вписанной окружности. Это можно сделать, разбив треугольник на два равнобедренных прямоугольных треугольника. Тогда получим:
r^2 = (a/2)^2 + (b/2)^2,
r^2 = (12/2)^2 + (15/2)^2,
r^2 = 6^2 + 7.5^2,
r^2 = 36 + 56.25,
r^2 = 92.25,
r = √92.25,
r ≈ 9.61.

Теперь можем найти полную площадь правильной треугольной призмы:
S = 3 [(12 9) / 2] + 3 (9.61 12),
S = 3 54 + 3 115.32,
S = 162 + 345.96,
S ≈ 507.96.

Итак, полная площадь правильной треугольной призмы составляет примерно 507.96 квадратных сантиметров.