Для нахождения синуса угла между прямой CB1 и плоскостью AA1C1 рассмотрим треугольник ABC и прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром и высотой призмы.

Из условия известно, что основание призмы ABCA1B1C1 равно 2, а боковое ребро равно корень из 71. Так как призма является правильной, то высота призмы равна стороне основания, то есть равна 2.

По теореме Пифагора, длина гипотенузы прямоугольного треугольника равна:
√(2² + √71²) = √(4 + 71) = √75 = 5√3

Теперь найдем синус угла между прямой CB1 и плоскостью AA1C1. Для этого воспользуемся геометрическими рассуждениями.

Поскольку угол между прямой и плоскостью является внутренним углом, составленным пересечением двух плоскостей, то синус этого угла можно найти как отношение площади проекции треугольника ABC на плоскость AA1C1 к площади этого треугольника.

Треугольник ABC - прямоугольник со сторонами 2, 2 и √71, его площадь равна 2 * 2 = 4. Проекция треугольника ABC на плоскость AA1C1 - прямоугольный треугольник со сторонами 2, 2 и 5√3.

Площадь треугольника ABC1 равна 1/2 2 2 * sin(угол), где sin(угол) - синус угла между прямой CB1 и плоскостью AA1C1.

По условию, прямая CB1 пересекает прямоугольный треугольник, образованный проекцией треугольника ABC, под прямым углом, следовательно, sin(угол) = 2 / 5√3 = 2 / (5√3) = 2√3 / 15.

Итак, синус угла между прямой CB1 и плоскостью AA1C1 равен 2√3 / 15.