Для решения этой задачи воспользуемся формулами для периметра и диагонали прямоугольника.

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле: P = 2*(a + b), где a и b - стороны прямоугольника.

Диагональ прямоугольника связана со сторонами прямоугольника следующим образом: d^2 = a^2 + b^2, где d - длина диагонали.

Из условия задачи известно, что периметр равен 34, то есть 2*(a + b) = 34, откуда a + b = 17.

Также известно, что длина диагонали равна корню из 185: d = √185.

Теперь составим систему уравнений:

a + b = 17
a^2 + b^2 = 185

Из первого уравнения найдем a = 17 - b и подставим его во второе уравнение:

(17 - b)^2 + b^2 = 185
289 - 34b + b^2 + b^2 = 185
2b^2 - 34b + 104 = 0
b^2 - 17b + 52 = 0

Решив квадратное уравнение, найдем, что b = 13 и b = 4.

Если b = 13, то а = 4; если b = 4, то а = 13.

Площадь прямоугольника S = a*b.

Если a = 4, b = 13: S = 4*13 = 52.

Если a = 13, b = 4: S = 13*4 = 52.

Итак, площадь прямоугольника равна 52.