По условию задачи имеем прямоугольный треугольник ABC, причем угол C - прямой угол. Тогда применим теорему Пифагора:

AC^2 = AH^2 + CH^2,
AB^2 = AH^2 + BH^2.

Известно, что CH = 12 см, BH = 9 см. Также, так как треугольник ABC прямоугольный, то значит AC - гипотенуза, AB и CH - катеты.

Подставим данные в формулы:

AC^2 = AH^2 + CH^2,
AB^2 = AH^2 + BH^2,
AC^2 = AH^2 + 12^2,
AB^2 = AH^2 + 9^2.

Заметим, что для треугольника ACB AH = CH - BH, так как CH является продолжением высоты из вершины А.

Найдем значение AH:

AH = CH - BH = 12 - 9 = 3 см.

Подставим AH в уравнения:

AC^2 = 3^2 + 12^2,
AB^2 = 3^2 + 9^2,
AC^2 = 9 + 144,
AB^2 = 9 + 81,
AC^2 = 153,
AB^2 = 90.

Теперь найдем стороны прямоугольного треугольника:

AC = sqrt(153) ≈ 12.37 см,
AB = sqrt(90) ≈ 9.49 см.

Таким образом, стороны прямоугольного треугольника ABC равны AC ≈ 12.37 см, AB ≈ 9.49 см. Площадь треугольника ABC вычисляется по формуле S = (AB CH) / 2 = (9.49 12) / 2 ≈ 56.94 см^2.