Площадь сечения, проведенного через среднюю линию основания параллельно боковой грани, равна площади равнобедренного треугольника.

Пусть b - длина основания равнобедренного треугольника, а h - высота, опущенная на основание. Так как боковые грани наклонены к основанию под углом 60°, то боковая грань треугольной пирамиды является высотой равнобедренного треугольника.

Из свойств равнобедренного треугольника имеем:

b = 2 h tg(30°) = 2htg(π/6)= 2h (√3/3) = 2h/√3.

Таким образом, площадь сечения равна S = (1/2) b h = (1/2) 2h/√3 h = h^2/√3.

Теперь найдем h. Рассмотрим равносторонний треугольник со стороной a (основание треугольной пирамиды) и его медиану, которая является высотой пирамиды. Заметим, что медиана равна половине высоты равностороннего треугольника, а так как угол между медианой и стороной треугольника равен 60°, то получаем, что h = (a/2) tg(60°) = (a/2) √3.

Таким образом, S = h^2/√3 = ((a/2)√3)^2/√3 = (3a^2/4)/√3 = (3a^2)/(4√3) = (3a^2√3)/12 = a^2 * √3 / 4.

Итак, площадь сечения, проведенного через среднюю линию основания параллельно боковой грани, равна a^2 * √3 / 4.