Площадь кругового сектора равна (S = \frac{1}{6} \cdot r^2 \cdot 2\pi), где (r) - радиус окружности.

Так как центральный угол шестиугольника равен 60 градусам, то этот угол занимает треть всей окружности.

Следовательно, площадь кругового сектора с центральным углом 60 градусов равна (\frac{1}{3}) от площади всей окружности, то есть (S = \frac{1}{3} \cdot \pi r^2 = 3\pi).

Отсюда находим, что (r = \sqrt{9} = 3).

Теперь найдем площадь правильного шестиугольника. Шестиугольник можно разбить на 6 равносторонних треугольников. У каждого из этих треугольников высота, проведенная к стороне, равна радиусу окружности, а основание равно одной из сторон шестиугольника.

Таким образом, площадь одного треугольника равна (S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot r \cdot a), где (a) - длина стороны шестиугольника.

Площадь шестиугольника равна (S{\text{шестиугольника}} = 6 \cdot S{\triangle} = 6 \cdot \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot a = 9a).

Итак, площадь шестиугольника равна (9a).